Mathématiques
odon16
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Bonsoir, je suis en Terminale S et j'ai un exercice type Bac sur l'étude de fonction. Vous pourriez m'aider ? On considère la fonction [latex]f[/latex] définie sur [1 ; +∞[ par [latex]f(x) = x- \frac{ln(x)}{x} [/latex]. On note C sa courbe représentative dans un repère orthonormé. 1) soit [latex]g[/latex] la fonction définie sur [1 ; +∞[ par [latex]g(x) = x^2-1+ln(x)[/latex] Montrer que [latex]g[/latex] est positive sur l'intervalle étudié 2a) Montrer que [latex]f'(x) = \frac{g(x)}{x^2} [/latex] 2b) En déduire le sens de variation de [latex]f[/latex] sur [1 ; +∞[ 2c) Montrer que la droite D d'équation y = x est une asymptote à la courbe C 2d) Etudier la position relative de la courbe C par rapport à la droite D Merci !

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(1) Réponses
myhinlotus

Bonjour,   1) Dans ce type de question, voici la méthode : on dérive la fonction, puis on étudie le signe de la dérivée et ensuite on en déduis les variations de la fonction g [latex] g(x) = x^2-1+ln(x)\\\\ g'(x) = 2x+ \frac{1}{x}\\\\ g'(x) = \frac{2x^2+1}{x} \ \ \ \ \ x \neq 0 [/latex]   Ensuite on trace le tableau de variation (cf fichier joint)  [latex] \lim_{x \to 0} x^2-1+ln(x) = 0^2-1+ln(0) = 0\\\\ \lim_{x \to \infty} x^2-1+ln(x) = +\infty [/latex]  D'après le tableau de variation on en déduit que sur [1 ; +∞[ , g(x) > 0   2a) [latex]f(x) = x- \frac{ln(x)}{x}\\\\ f'(x) = 1 - \frac{ \frac{1}{x}\times x+ln(x)\times 1 }{x^2} \\\\ f'(x) = 1- \frac{1+ln(x)}{x^2}\\\\ f'(x) = \frac{x^2-1+ln(x)}{x^2}\\\\ f'(x) = \frac{g(x)}{x^2} [/latex]   2b)  g(x) > 0 et x² > 0 donc f'(x) > 0. Par conséquent, f est strictement croissante sur [1 ; +∞[ 2c)  Pour savoir si y = x est une asymptote, il suffit de regarder si la limite en +∞ de [latex]f(x) -x = 0[/latex]  [latex] \lim_{x \to \infty} f(x) -x= \lim_{x \to \infty} - \frac{ln(x)}{x} = - \lim_{x \to \infty} \frac{ln(x)}{x}=0 [/latex]  Par conséquent D : y = x est une asymptote à la courbe C   2d)  On cherche quand est-ce que f(x) > x [latex]- \frac{ln(x)}{x} >0\\\\ \frac{ln(x)}{x} <0 [/latex]   ceci est vrai pour tout x ∈ [1 ; +∞[. Par conséquent, la courbe C est en dessous de la droite D sur [1 ; +∞[

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