Matemática
janetemenezes
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13. Na figura 7 estão representados, num referencial cartesiano , partes dos gráficos de duas funções f e g e o trapézio retângulo [ABCD]. Sabe-se que: ✓ a função f é definida por f(x)= 3x-1 / 2; ✓ a função g é uma função quadrática definida por g(x)= ax², sendo a um número negativo; ✓ os pontos A e B são pontos de interseção dos gráficos de f e g; ✓ o ponto B tem ordenada - 1/8. 13.1 Determina a medida da área do trapézio [ABCD]. 13.2 Determina uma equação da reta s , paralela à reta que representa a função f e que passa pela origem do referencial. Ajudem pls. 30 pontos

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(1) Respostas
amabele

Pela função "f(x)" vamos determinar a abscissa do ponto "B", considerando sua ordenada como "-1/8". f(x) = (3x - 1) / 2 -1/8 = (3x - 1) / 2 2 * (-1/8) = 3x - 1 -1/4 = 3x - 1 -1/4 + 1 = 3x (-1 + 4)/4 = 3x 3/4 = 3x (3/4) / 3 = x 3/4 * 1/3 = x x = 1/4 Portanto, o ponto "B", possui coordenadas (1/4, -1/8). Como esse ponto pertence a função "g(x)", vamos determinar o valor de "a" dessa função, substituindos as coordenadas de "B = (1/4, -1/8)" na função g(x) = ax² -1/8 = a * (1/4)² -1/8 = a/16 (-1/8) * 16 = a a = -2 Portanto, a função "g(x) = -2x² ". Agora, vamos determinar a abscissa do ponto "A" que é a intersecção das funções "f(x)" e "g(x)", para isso vamos igualar as funções. f(x) = g(x) (3x - 1)/2 = -2x² 2x² + 3x/2 - 1/2 = 0 Vamos multiplicar toda a equação acima por "2": 2x² + 3x/2 - 1/2 = 0     (*2) 4x² + 3x - 1 = 0 a = 4 b = 3 c = -1 Δ = b² - 4ac Δ = 3² - 4 * 4 * (-1) Δ = 9 + 16 Δ = 25 x' = (-b + √Δ) / 2a x' = (-3 + √25) / (2 * 4) x' = (-3 + 5) / 8 x' = 2 / 8 x' = 1/4 x'' = (-b - √Δ) / 2a x'' = (-3 - √25) / (2 * 4) x'' = (-3 - 5) / 8 x'' = (-8) / 8 x'' = -1 Portanto, os valores encontrados são "1/4" que é a abscissa do ponto "B", como já havíamos encontrado, e o outro resultado é "-1" que é a abscissa do ponto "A". Podemos substituir esse valor na função f(x) ou g(x) para determinar a ordenada do ponto "A". Vamos fazer das duas formas para verificar se chegamos ao mesmo resultado. f(x) = (3x - 1) / 2 f(-1) = (3 * (-1) - 1) / 2 f(-1) = (-3 - 1) / 2 f(-1) = (-4) / 2 f(-1) = -2 g(x) = -2x² g(-1) = -2 * (-1)² g(-1) = -2 * 1 g(-1) = -2 Portanto, a ordenada do ponto "A" vale "-2", ou seja, "A = (-1, -2)" Note que os pontos "C" e "D" possuem ordenada igual a zero, pois estão sobre o eixo "x", e as abscissas desse pontos são as mesma dos ponto "B" e "A" respectivamente. Portanto, temos as seguintes coordenadas para cada ponto. A = (-1 , -2) B = (1/4 , -1/8) C = (1/4 , 0) D = (-1 , 0) Com as coordenadas dos pontos, temos condições de calcular a área do trapézio ABCD. 13.1 A área do trapézio é dada pela seguinte fórmula A = (B + b) * h / 2 onde, "A" é a área, "B" é a base maior, "b" é a base menor e "h" é a altura do trapézio. A base maior do trapézio é dada pele seguimento "AD", a base menor pelo seguimento "BC" e a altura do trapézio pelo seguimento "CD". Vamos determinar a medida de cada seguimento. dAD² = Δx² + Δy² dAD² = (Xa - Xd)² + (Ya - Yd)² dAD² = ((-1) - (-1))² + ((-2) - 0)² dAD² = (-1 + 1)² + (-2 - 0)² dAD² = (0)² + (-2)² dAD² = 0 + 4 dAD² = 4 dAD = √4 dAD = 2 dBC² = Δx² + Δy² dBC² = (Xb - Xc)² + (Yb - Yc)² dBC² = ((1/4) - (1/4))² + ((-1/8) - 0)² dBC² = (0)² + (-1/8)² dBC² = 0 + 1/64 dBC² = 1/64 dBC = √(1/64) dBC = 1/8 dCD² = Δx² + Δy² dCD² = (Xc - Xd)² + (Ya - Yd)² dCD² = ((1/4) - (-1))² + (0 - 0)² dCD² = (1/4 + 1)² + (0)² dCD² = ((1+4)/4)² + 0 dCD² = (5/4)² dCD² = 25/16 dCD = √(25/16) dCD = 5/4 Agora vamos substituir o valor de cada seguimento na fórmula da área do trapézio. A = (B + b) * h / 2 A = (dAB + dBC) * dCD / 2 A = (2 + 1/8) * (5/4) / 2 A = ((16 + 1)/8) * (5/4) * (1/2) A = (17/8) * (5/8) A = 85/64 Portanto, a área do trapézio ABCD é 85/64. 13.2 Uma reta paralela a "f(x)" tem o mesmo coeficiente angular "a" de "f(x)" e para passar pela origem o coeficiente linear "b" deve ser zero. Vemos que o coeficiente angular de "f(x)" é "3/2". Assim, para a reta "s", temos que: coeficiente angular "a = 3/2" coeficiente linear "b = 0" Portanto, a equação da reta "s" será: y = ax + b y = (3/2) * x + 0 y = 3x/2

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